Das Konzept des allgemeinen Gleichgewichts geht auf den Schweizer Ökonomen Léon Walras (1834–1910) zurück, der es in seinem Hauptwerk Éléments d’économie politique pure (1874) erstmals mathematisch formulierte. Es beschreibt einen Zustand einer Volkswirtschaft, in dem auf allen Märkten simultan Angebot und Nachfrage übereinstimmen.

Formale Struktur

Eine Ökonomie besteht aus nn Gütern, HH Haushalten und FF Firmen. Jeder Haushalt hh maximiert seine Nutzenfunktion UhU^h unter einer Budgetrestriktion:

max⁡xh  Uh(xh)s.t.p⃗⋅xh≤wh(p⃗)\max_{x^h} \; U^h(x^h) \quad \text{s.t.} \quad \vec{p} \cdot x^h \leq w^h(\vec{p})

Jede Firma ff maximiert ihren Gewinn:

max⁡yf  πf=p⃗⋅yfs.t.yf∈Yf\max_{y^f} \; \pi^f = \vec{p} \cdot y^f \quad \text{s.t.} \quad y^f \in Y^f

Die Überschussnachfragefunktion für Gut ii ist definiert als:

zi(p⃗)=∑hxih(p⃗)−∑fyif(p⃗)−ωiz_i(\vec{p}) = \sum_h x_i^h(\vec{p}) - \sum_f y_i^f(\vec{p}) - \omega_i

wobei ωi\omega_i die aggregierten Anfangsausstattungen bezeichnet. Ein Walrasianisches Gleichgewicht ist ein Preisvektor p⃗∗≫0\vec{p}^* \gg 0, sodass:

zi(p⃗∗)≤0∀i,mit zi(p⃗∗)=0 falls pi∗>0z_i(\vec{p}^*) \leq 0 \quad \forall i, \quad \text{mit } z_i(\vec{p}^*) = 0 \text{ falls } p_i^* > 0

Walras-Gesetz

Eine fundamentale Identität der Theorie lautet:

p⃗⋅z⃗(p⃗)=0∀p⃗\vec{p} \cdot \vec{z}(\vec{p}) = 0 \quad \forall \vec{p}

Das heißt: Der Wert der aggregierten Überschussnachfrage ist bei jedem Preisvektor identisch null. Daraus folgt, dass bei nn Märkten das Gleichgewicht auf n−1n-1 Märkten das Gleichgewicht auf dem nn-ten impliziert.

Existenz des Gleichgewichts

Arrow und Debreu (1954) sowie McKenzie (1954) bewiesen unabhängig voneinander die Existenz eines allgemeinen Gleichgewichts unter folgenden Bedingungen:

  • Vollständige Märkte
  • Konvexe Präferenzen und Produktionsmengen
  • Keine Externalitäten oder öffentliche Güter
  • Vollständige Information

Der Beweis verwendet den Fixpunktsatz von Kakutani: Die Preisanpassungsabbildung besitzt unter diesen Bedingungen einen Fixpunkt p⃗∗\vec{p}^*.

Wohlfahrtstheoretische Bedeutung

Das Walrasianische Gleichgewicht ist eng mit dem Begriff der Pareto-Effizienz verknüpft:

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie: Jedes Walrasianische Gleichgewicht ist Pareto-effizient.

Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie: Jede Pareto-effiziente Allokation kann durch geeignete Umverteilung der Anfangsausstattungen als Walrasianisches Gleichgewicht dezentralisiert werden.

Diese Sätze bilden die mathematische Grundlage für das Konzept der „unsichtbaren Hand” (Smith, 1776).

Grenzen und offene Fragen

Die Theorie beantwortet die Frage der Existenz, lässt aber zentrale Fragen offen:

  • Eindeutigkeit: Unter welchen Bedingungen ist p⃗∗\vec{p}^* eindeutig?
  • Stabilität: Konvergiert ein dynamischer Anpassungsprozess gegen p⃗∗\vec{p}^*?
  • Aggregation: Überträgt sich die individuelle Rationalität auf das Marktverhalten?

Diese Fragen führten direkt zu den Ergebnissen von Sonnenschein, Mantel und Debreu.

Quellen

  • Walras, L. (1874). Éléments d’économie politique pure. Corbaz, Lausanne.
  • Arrow, K. J. & Debreu, G. (1954). Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy. Econometrica, 22(3), 265–290.
  • McKenzie, L. W. (1954). On Equilibrium in Graham’s Model of World Trade. Econometrica, 22(2), 147–161.
  • Debreu, G. (1959). Theory of Value. Yale University Press.
  • Mas-Colell, A., Whinston, M. D. & Green, J. R. (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press. Kap. 17.