Das Sonnenschein-Mantel-Debreu-Theorem (SMD) bezeichnet eine Reihe von Resultaten aus den frühen 1970er Jahren, die zeigen, dass aggregierte Überschussnachfragefunktionen nahezu beliebige Gestalt annehmen können – selbst wenn alle Individuen vollständig rational handeln. Das Theorem gilt als eine der fundamentalsten Herausforderungen für die mikroökonomische Fundierung der allgemeinen Gleichgewichtstheorie.

Ausgangsproblem

Individuelle Nachfragefunktionen xh(p⃗,wh)x^h(\vec{p}, w^h), die aus Nutzenmaximierung abgeleitet werden, unterliegen starken Einschränkungen. Insbesondere muss die Slutsky-Matrix ShS^h symmetrisch und negativ semidefinit sein:

Sijh=∂xih∂pj+xjh∂xih∂whS^h_{ij} = \frac{\partial x^h_i}{\partial p_j} + x^h_j \frac{\partial x^h_i}{\partial w^h}

Die zentrale Frage war, ob sich diese Einschränkungen auf die aggregierte Überschussnachfrage

z⃗(p⃗)=∑hxh(p⃗,wh(p⃗))−ω⃗\vec{z}(\vec{p}) = \sum_h x^h(\vec{p}, w^h(\vec{p})) - \vec{\omega}

übertragen.

Das Theorem

Sonnenschein (1972) zeigte, dass jede stetige Funktion z⃗:Δ→Rn\vec{z}: \Delta \to \mathbb{R}^n auf dem Preissimplex Δ\Delta, die das Walras-Gesetz

p⃗⋅z⃗(p⃗)=0\vec{p} \cdot \vec{z}(\vec{p}) = 0

und Homogenität nullten Grades erfüllt, als aggregierte Überschussnachfragefunktion einer Ökonomie mit rationalen Agenten darstellbar ist.

Mantel (1974) verstärkte dieses Resultat: Selbst bei identischen, homothetischen Präferenzen aller Agenten bleibt die Einschränkung auf Walras-Gesetz und Homogenität.

Debreu (1974) lieferte den stärksten Beweis: Für eine Ökonomie mit nn Gütern genügt es, nn Agenten zu spezifizieren, um jede hinreichend glatte Funktion mit den genannten Eigenschaften exakt zu realisieren.

Formal gilt: Sei z⃗:Δ→Rn\vec{z}: \Delta \to \mathbb{R}^n stetig, mit p⃗⋅z⃗(p⃗)=0\vec{p} \cdot \vec{z}(\vec{p}) = 0 und z⃗(λp⃗)=z⃗(p⃗)\vec{z}(\lambda\vec{p}) = \vec{z}(\vec{p}). Dann existiert eine Ökonomie E\mathcal{E} mit rationalen Haushalten, sodass z⃗\vec{z} deren aggregierte Überschussnachfrage ist.

Konsequenzen

Nicht-Eindeutigkeit des Gleichgewichts

Da z⃗(p⃗)=0⃗\vec{z}(\vec{p}) = \vec{0} beliebig viele Lösungen besitzen kann, ist das Walrasianische Gleichgewicht im Allgemeinen nicht eindeutig. Eine Ökonomie kann eine beliebige endliche Anzahl von Gleichgewichtspreisen aufweisen.

Instabilität des Tâtonnement

Walras’ Preisanpassungsmechanismus lautet:

p˙i=λi⋅zi(p⃗),λi>0\dot{p}_i = \lambda_i \cdot z_i(\vec{p}), \quad \lambda_i > 0

Da z⃗\vec{z} nahezu beliebig sein kann, ist die Konvergenz dieses Prozesses nicht garantiert. Scarf (1960) konstruierte bereits vor SMD explizite Gegenbeispiele stabiler individueller Präferenzen mit instabilem Gleichgewicht.

Zusammenbruch der Aggregation

Die Slutsky-Symmetrie und negative Semidefinitheit der individuellen Nachfrage überträgt sich nicht auf die Marktebene. Die aggregierte Slutsky-Matrix ∑hSh\sum_h S^h ist zwar noch symmetrisch, aber nicht notwendig negativ semidefinit. Damit verliert das Modell jede testbare Implikation für das Marktverhalten jenseits der trivialen Eigenschaften.

Ursache: Das Einkommensproblem

Der mathematische Kern des Theorems liegt in den Einkommenseffekten. Preisänderungen verschieben die realen Einkommen der Agenten. Diese Einkommenseffekte sind für jeden Agenten verschieden und können sich bei Aggregation über heterogene Haushalte nicht kompensieren – anders als in der Physik, wo identische Teilchen bei Aggregation gesetzmäßige Mittelwerte erzeugen.

Empirische und methodische Konsequenzen

  • Aus aggregierten Marktdaten kann nicht auf individuelle Rationalität geschlossen werden, da nahezu jede Datenlage mit rationalem Verhalten kompatibel ist.
  • Modelle mit repräsentativem Agenten – Standard in der makroökonomischen DSGE-Modellierung – entbehren einer konsistenten mikroökonomischen Fundierung (vgl. Kirman 1992).
  • Das Theorem begrenzt den Erklärungsanspruch der allgemeinen Gleichgewichtstheorie fundamental: Existenz ist beweisbar, Eindeutigkeit und Stabilität sind es im Allgemeinen nicht.

Rezeption und Einordnung

Das SMD-Theorem wurde in der theoretischen Ökonomie breit rezipiert, hatte jedoch auf die angewandte Makroökonomie kaum Einfluss. Kirman (1989, 1992) betont, dass das Theorem die Notwendigkeit heterogener Agentenmodelle zeigt. Die Komplexitätsökonomie (Arthur et al., 1997) entwickelte alternative Rahmenwerke, die Stabilität und Dynamik ohne Gleichgewichtsannahme modellieren.

Quellen

  • Sonnenschein, H. (1972). Market Excess Demand Functions. Econometrica, 40(3), 549–563.
  • Mantel, R. R. (1974). On the Characterization of Aggregate Excess Demand. Journal of Economic Theory, 7(3), 348–353.
  • Debreu, G. (1974). Excess Demand Functions. Journal of Mathematical Economics, 1(1), 15–21.
  • Scarf, H. (1960). Some Examples of Global Instability of the Competitive Equilibrium. International Economic Review, 1(3), 157–172.
  • Kirman, A. P. (1992). Whom or What Does the Representative Individual Represent? Journal of Economic Perspectives, 6(2), 117–136.
  • Kirman, A. P. (1989). The Intrinsic Limits of Modern Economic Theory. Economic Journal, 99(395), 126–139.
  • Arthur, W. B., Durlauf, S. N. & Lane, D. A. (Hrsg.) (1997). The Economy as an Evolving Complex System II. Addison-Wesley.
  • Mas-Colell, A., Whinston, M. D. & Green, J. R. (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press. Kap. 17.