Motivation

Ausgangspunkt ist der Artikel Das Dornröschen-Problem spaltet die Mathewelt, in dem es um eine mathematische Fragestellung geht, zu der es laut Artikel aktuell keine allgemein akzeptierte eindeutige Antwort gibt. Die Problemstellung wird in der englischen Wikipedia kompakt beschrieben:

The Sleeping Beauty problem is a puzzle in decision theory in which whenever an ideally rational epistemic agent is awoken from sleep, they have no memory of whether they have been awoken before. Upon being told that they have been woken once or twice according to the toss of a coin, once if heads and twice if tails, they are asked their degree of belief for the coin having come up heads.

— Wikipedia ¹

Eine Fraktion antwortet 1/2 eine andere Fraktion 1/3. Das folgende Modell soll die logisch korrekte Antwort veranschaulichen, welche sich bei klarer Herausstellung der unten beschriebenen Annahmen ergibt (, also die Annahmen, die ich aus dem Artikel herauszulesen denke).

Modell

Das Modell besteht aus einer grafischen Darstellung des Designs des Experiments, dies ist eine statische Ansicht aller für die Fragestellung relevanten Welten, die im Experimentverlauf eintreten können. In mehreren Schritten wird das Modell erweitert und variiert. Die letzte Variation führt zur gesuchten Antwort. Begleitender Text erläutert den Zweck und die Idee hinter jeder Variation und definiert die verwendeten Begriffe. Zunächst werden die verwendeten Annahmen herausgestellt.

Annahmen:

• Dornröschen weiß, dass es sich in dem Experiment befindet
• Dornröschen wird zu keiner Zeit mit unwahren Informationen versorgt
• Dornröschen hat vollständige Kenntnis vom Design des Experiments, inklusive dem Befragungungsprozedere
• Dornröschen weiß im Moment der Antwort weder, was die Münze zeigt, noch in welchem Szenario es sich befindet, noch welches der aktuelle Wochentag ist, noch ob es im Experiment bereits zuvor geweckt wurde
• Der Würfel-/Münzwurf findet vor dem ersten Aufweckevent statt. Würfel- und Münze verändern ihren Zustand nicht im weiteren Verlauf des Experiments
• Die Frage ist an Dornröschen gerichtet, sie wird bei jedem Aufweckereignis im Experiment gestellt und lautet: “Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?”
• Dornröschen gibt eine mathematisch-logische Antwort (falls es eine gibt)
• Das Zufallselement Münze ist ideal: Für die Münze gibt nur die Fälle “Kopf” und “Zahl” mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 1/2. Analog ist das Zufallselement Würfel auch ideal
• Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf die theoretisch unendlich häufige Wiederholung des Experiments
• Das “Durchspielen des Experiments für jeden möglichen Fall genau einmal” liefert das gleiche Ergebnis wie eine theoretisch unendlich häufige Wiederholung des Experiments. Dies ist Konsequenz aus der Verwendung ausschließlich idealer Zufallselemente.

Modell: Würfelexperiment

Wir beginnen mit einer Modellierung als Würfelexperiment, weil dadurch alle Fälle hinreichend übersichtlich dargestellt werden können und gleichzeitig genug Komplexität vorhanden ist, um unterschiedliche Mengen mit ihren Bedeutungen zu identifizieren. Es wird sechsmal gewürfelt. Jeder Fall (Case) tritt dabei genau einmal ein. Jeder Fall führt in eines der beiden Szenarien (Scenario). Jeder Fall im Langschläferszenario (Scenario long) hat ein Ereignis (Event. Aufwecken am Montag) zur Folge. Im Kurzschläferszenario (Scenario short) gibt es zwei Events (aufwecken Montag und zusätzlich am Dienstag). Die Unterscheidung der Events ist nur für die Veranschaulichung des Experiments wichtig, darf aber für die gesuchte Wahrscheinlichkeit wegen Dornröschens Wochentagsblindheit keine Rolle spielen. Daher wird auf Indizes wie “Tuesday” oder “Monday” verzichtet.

Experiment auswerten

Der abgerundete gestrichelte Kasten enthält unten Raum für Auswertungen. Wesentlich sind die im Kasten befindlichen Elemente des Experiments, sie entsprechen Dornröschens relevanten Informationen: Es hat Kenntnis vom Raum der möglichen Szenarien, von den Ereignishäufigkeiten und es weiß, dass es sich zum Zeitpunkt der Fragestellung in einer der Rauten befindet (jedoch nicht in welcher). Das Einzelereignis des Würfelns spielt keine Rolle, jedoch dass alle möglichen Fälle in Dornröschens Überlegungen berücksichtigt sind.

Jetzt wird ausgewertet: Da jedes dargestellte Event tatsächlich genau einmal auftritt, sind alle Events gleichhäufig und gleichwertig - wir zählen sie zur Auswertung einfach aus, d. h. ohne sie irgendwie noch weiter zu bewerten oder gewichten. Wichtig ist hier die Fragestellung zu beachten, um das Richtige zu zählen. Für die Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten werden Relationen gebildet, auch hier kommt es auf die Fragestellung drauf an, um die richtige Relation zu bilden.

Die zwei Auswertungen ergeben

• dass bei diesem Experimentdesign die Wahrscheinlichkeit “dass sich ein Aufweckevent im Langschläferszenario befindet” gleich hoch ist wie die Wahrscheinlichket, “dass sich das Experiment im Würfelfall sechs befindet”…
• … und dass sich diese Wahrscheinlichkeit von der Fallwahrscheinlichkeit des idealen Würfels unterscheidet

Argument zur Gleichhäufigkeit und zur Bezugsmenge

Durch die Idealität des Würfels ist kommen alle Cases gleichhäufig vor. Damit ist jedes Montagsweckevent genauso häufig und damit genauso wahrscheinlich wie jedes andere Montagsweckevent im Experiment. Im Kurzschläferszenario ist in jedem Case zusätzlich ein Dienstagsweckevent an genau ein vorausgehendes Montagsweckevent zwangsgekoppelt, beide sind gleichhäufig und somit gleichwahrscheinlich. Für jedes Event im Experiment gilt demnach:

Zur Bestimmung der Bezugsmenge: Dornröschen weiß, dass es sich in einem Event des Experiments befinden muss. Dornröschen kennt das Experimentdesign und damit auch die Summe aller theoretisch möglichen Events. Jede andere Festlegung der Bezugsmenge als die “Summe aller möglichen Events des Experiments” wäre willkürlich, denn es gibt keine Informationen die eine andere Bezugsmengenwahl rechtfertigen. Angenommen Dornröschen hätte zusätzlich die Information “du bist im Kurzschläferszenario”, dann würde sich die sinnvolle Bezugsmenge in der Auswertung oben auf “zehn Events” verringern.

Szenarien vertauschen

Nun wird das Design des Experiments verändert, die Szenarien werden vertauscht. Damit wird deutlich

• dass die Wahrscheinlichkeiten vom Design des Experiments abhängig sind
• dass es wichtig es ist, die richtigen Mengen zu identifiziern und eindeutige Begriffe zu verwenden.

Für eine Auswertung wird wieder die Menge für den Zähler identifiziert, ebenso die Menge für den Nenner. Es werden in der jeweiligen Menge die Rauten gezählt.

Auf die Feinheiten der Fragestellung kommt es hier drauf an. Wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass der Würfel eine “fünf” zeigt, dann ist die Antwort 1/7. Wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, ob sich Dornröschen in einem Langschläferszenario befindet, dann ist die Antwort 5/7.

Dornröschen Variation

Statt gewürfelt wird nun eine Münze geworfen. Das entspricht dem Design des Dornröschen Experiments. Damit führt diese Variation vom allgemeinen Verständnis der Zusammenhänge der Wahrscheinlichkeiten und der Mengenidentifikation hin zur Antwort auf die Fragestellung.

Unser statistisch denkendes Dörnröschen würde folglich “1/3” antworten.

Anmerkungen

• Dieses Modell beschreibt einen grafischen Lösungsansatz. Ein Ziel dabei ist eine konsistente Logik zu veranschaulichen.
• Dornröschens logische Antwort ist ausschließlich vom Design des Experiments abhängig und kann formuliert werden, ohne dass das Experiment tatsächlich durchgeführt wird. Und das ist wohl auch gut so.